diff --git a/src/Advanced/Wallpaper/main.typ b/src/Advanced/Wallpaper/main.typ new file mode 100644 index 0000000..cce1109 --- /dev/null +++ b/src/Advanced/Wallpaper/main.typ @@ -0,0 +1,9 @@ +#import "@local/handout:0.1.0": * + +#show: handout.with( + title: [Wallpaper Symmetries], + by: "Mark", +) + +#include "parts/00 arithmetic.typ" +#pagebreak() diff --git a/src/Advanced/Wallpaper/meta.toml b/src/Advanced/Wallpaper/meta.toml new file mode 100644 index 0000000..f0630ae --- /dev/null +++ b/src/Advanced/Wallpaper/meta.toml @@ -0,0 +1,7 @@ +[metadata] +title = "Wallpaper Symmetries" + + +[publish] +handout = true +solutions = true diff --git a/src/Advanced/Wallpaper/parts/00 arithmetic.typ b/src/Advanced/Wallpaper/parts/00 arithmetic.typ new file mode 100644 index 0000000..46f513a --- /dev/null +++ b/src/Advanced/Wallpaper/parts/00 arithmetic.typ @@ -0,0 +1,254 @@ +#import "@local/handout:0.1.0": * +#import "@preview/cetz:0.3.1" + += Wallpaper Symmetries + +#definition() +A _Euclidean isometry_ is a transformation of the plane that preserves distances. \ +Intuituvely, an isometry moves objects on the plane without deforming them. + +There are four classes of _Euclidean isometries_: +- Translation +- Reflection +- Rotation +- Glide reflection +#note([We can prove that there are no others, but this is beyond the scope of this handout.]) \ +A simple example of each isometry is shown below: + +#let demo(c) = { + let s = 0.75 + cetz.draw.line( + (0, 0), + (3 * s, 0), + (3 * s, 1 * s), + (1 * s, 1 * s), + (1 * s, 2 * s), + (0, 2 * s), + close: true, + fill: c, + stroke: black + 0mm * s, + ) +} + +#box( + height: 10cm, + align( + center, + table( + stroke: none, + align: center, + columns: (1fr, 1fr), + rows: (1fr, 1fr), + cetz.canvas({ + import cetz.draw: * + + demo(ored) + translate(x: 0, y: -2.5) + demo(oblue) + }) + + [Translation], + cetz.canvas({ + import cetz.draw: * + + circle((-2, 0), radius: 0.2, stroke: none, fill: black) + + demo(ored) + rotate(z: -45deg, origin: (-2, 0)) + demo(oblue) + }) + + [Rotation], + + cetz.canvas({ + import cetz.draw: * + + line((-2, 0), (4, 0)) + + translate(x: 0, y: 0.25) + demo(ored) + set-transform(none) + + set-transform(( + (1, 0, 0, 0), + (0, 1, 0, 0), + (0, 0, 1, 0), + (0, 0, 0, 1), + )) + + translate(x: 0, y: 0.25) + demo(oblue) + }) + + [Reflection], + cetz.canvas({ + import cetz.draw: * + + + demo(ored) + + set-transform(( + (1, 0, 0, 0), + (0, 1, 0, 0), + (0, 0, 0, 0), + (0, 0, 0, 0), + )) + translate(x: 2.5, y: 0) + + demo(oblue) + + set-transform(none) + line((-1, 0), (5, 0)) + }) + + [Glide reflection], + ), + ), +) + + +#definition() +A _wallpaper_ is a two-dimensional pattern that... +- has translational symmetry in at least two directions + #note([(and therefore fills the plane)]) +- has countably many reflection, rotation, or glide symmetries. \ + +#problem() +Is the empty plane a valid wallpaper? + +#solution([ + No, since it has an uncountable number of symmetries. +]) + +#pagebreak() + +#definition() +A _mirror symmetry_ is a reflection about a line. +Its signature is `*`. +An integer $n$ following `*` denotes $n$-fold mirror symmetry, the intersection of $n$ mirror lines. + +Two intersections of mirror lines are considered the same if we can perform a translation and rotation that sends one to the other, while leaving the pattern the same. There are various possible combinations of mirror symmetries. + + +This flower pattern has signature `*632`: there are +three distinct point of intersecting mirror lines with 6, 3, and 2 mirror lines respectively. + +#table( + stroke: none, + align: center, + columns: (1fr, 1fr), + rows: 50mm, + image("../res/*632-a.png", height: 100%), + image("../res/*632-b.png", height: 100%), +) + +#problem() +Design a wallpaper pattern with signature `*2222` + + +#pagebreak() +Another symmetry is n-fold rotational symmetry about a point, whose signature is written n. Multiple bold numbers means multiple points of rotational symmetry. + +Two points of rotational symmetry are considered the same if we can perform a translation + rotation sending one to the other, while leaving the pattern the same. + +There are also patterns with both kinds of symmetries. To classify such patterns, first find all the mirror symmetries, then all the rotational symmetries that are not accounted +for by the mirror symmetries. + +By convention we write the rotational symmetries before +the `*`. + + +#table( + stroke: none, + align: center, + columns: (1fr, 1fr), + rows: 50mm, + image("../res/333.png", height: 100%), image("../res/3*3.png", height: 100%), +) + + +#problem() +Mark the three rotation points in Figure 1. + +#problem() +Find the signature of the pattern in Figure 2. + +#solution([`3 *3`]) + +#pagebreak() + + +Some exceptional cases: It is possible to have two different parallel mirror lines. In +this situation the signature is ∗ ∗ + + +#table( + stroke: none, + align: center, + columns: 1fr, + rows: 60mm, + image("../res/**.png", height: 100%), +) + +#problem() +Draw another wallpaper pattern with signature `**` + + +#pagebreak() + +There are two other types of symmetries. The first called a miracle whose signature is +written ×. It is the result of a glide reflection, which is translation along a line followed +by reflection about that line. +This occurs when there is orientation-reversing symmetry not accounted for by a mirror. +For example, if we modify Figure 3 slightly we get a signature of ∗× + +#table( + stroke: none, + align: center, + columns: (1fr, 1fr), + rows: 60mm, + image("../res/*x-b.png", height: 100%), + image("../res/*x-a.png", height: 100%), +) + +Signature ∗×. There is a glide reflection (shown by the by the dotted line) +taking the clockwise spiral to the counter-clockwise spiral, reversing orientation + + +#pagebreak() + + +#problem() +Find the signatures of the following patterns: + +#table( + stroke: none, + align: center, + columns: (1fr, 1fr), + rows: 60mm, + image("../res/wiki/Wallpaper_group-cm-4.jpg", height: 100%), + image("../res/wiki/Wallpaper_group-p4g-2.jpg", height: 100%), +) + + +#pagebreak() + +There is another exceptional case with two miracles, where there are two glide reflection +symmetries along distinct lines. There are other glide reflections, but they can be obtained +by composing the two marked in the diagram. + + +#table( + stroke: none, + align: center, + columns: (1fr, 1fr), + rows: 60mm, + image("../res/xx-b.png", height: 100%), + image("../res/xx-a.png", height: 100%), +) + +Figure 7: There are two distinct mirrorless crossings, so the signature is `xx`. +Lastly, if none of the above symmetries appear in the pattern, then there is only regular +translational symmetry, which we denote by O. + +In summary, to find the signature of a pattern: +- Find the mirror lines (∗) and the distinct intersections +- Find the rotational points of symmetry not account for by reflections. +- Look for any miracles (×) i.e. glide reflections that do not cross a mirror line. +- If you found none of the above, it is just O diff --git a/src/Advanced/Wallpaper/res/**.png b/src/Advanced/Wallpaper/res/**.png new file mode 100644 index 0000000..d6e3c80 Binary files /dev/null and b/src/Advanced/Wallpaper/res/**.png differ diff --git a/src/Advanced/Wallpaper/res/*632-a.png b/src/Advanced/Wallpaper/res/*632-a.png new file mode 100644 index 0000000..142a4f3 Binary files /dev/null and b/src/Advanced/Wallpaper/res/*632-a.png differ diff --git a/src/Advanced/Wallpaper/res/*632-b.png b/src/Advanced/Wallpaper/res/*632-b.png new file mode 100644 index 0000000..8dd5c53 Binary files /dev/null and b/src/Advanced/Wallpaper/res/*632-b.png differ diff --git a/src/Advanced/Wallpaper/res/*x-a.png b/src/Advanced/Wallpaper/res/*x-a.png new file mode 100644 index 0000000..c238c28 Binary files /dev/null and b/src/Advanced/Wallpaper/res/*x-a.png differ diff --git a/src/Advanced/Wallpaper/res/*x-b.png b/src/Advanced/Wallpaper/res/*x-b.png new file mode 100644 index 0000000..22f0cf9 Binary files /dev/null and b/src/Advanced/Wallpaper/res/*x-b.png differ diff --git a/src/Advanced/Wallpaper/res/3*3.png b/src/Advanced/Wallpaper/res/3*3.png new file mode 100644 index 0000000..85bc171 Binary files /dev/null and b/src/Advanced/Wallpaper/res/3*3.png differ diff --git a/src/Advanced/Wallpaper/res/333.png b/src/Advanced/Wallpaper/res/333.png new file mode 100644 index 0000000..7a78cb0 Binary files /dev/null and b/src/Advanced/Wallpaper/res/333.png differ diff --git a/src/Advanced/Wallpaper/res/wiki/Wallpaper_group-cm-4.jpg b/src/Advanced/Wallpaper/res/wiki/Wallpaper_group-cm-4.jpg new file mode 100644 index 0000000..180b930 Binary files /dev/null and b/src/Advanced/Wallpaper/res/wiki/Wallpaper_group-cm-4.jpg differ diff --git a/src/Advanced/Wallpaper/res/wiki/Wallpaper_group-p4g-2.jpg b/src/Advanced/Wallpaper/res/wiki/Wallpaper_group-p4g-2.jpg new file mode 100644 index 0000000..619892c Binary files /dev/null and b/src/Advanced/Wallpaper/res/wiki/Wallpaper_group-p4g-2.jpg differ diff --git a/src/Advanced/Wallpaper/res/wolfram/all.svg b/src/Advanced/Wallpaper/res/wolfram/all.svg new file mode 100644 index 0000000..e3a04b4 --- /dev/null +++ b/src/Advanced/Wallpaper/res/wolfram/all.svg @@ -0,0 +1,6662 @@ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 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